Дополнение №21 (1 сентября 2010 г.)
Какова геометрия физического вакуума?
Постановка проблемы.
Существование физического вакуума известно более 60 лет: лэмбовский сдвиг обнаружен в 1947 году, однако до сих пор остается открытым вопрос: «Какова геометрия физического вакуума?». Имеются разногласия даже относительно размерности соответствующей физическому вакууму геометрической структуры, не говоря уж об определении вида самой структуры. Более того, сформулированный в заглавии вопрос, оказывается, вообще не поставлен, причем не только в научной литературе, но и в Интернете (в этом нетрудно убедиться, набрав в любом поисковике «геометрия физического вакуума»).
Цель работы.
Показать, что пространство-время является арифметическим (числовым) представлением геометрии физического вакуума. Другими словами, пространство-время – это модель, которая описывает геометрические свойства физического вакуума с помощью чисел.
План работы.
Вводится постулат, согласно которому исходное состояние физического вакуума наделено геометрией комплексного проективного пространства СР^3, после чего вводятся наиболее естественные (с геометрической точки зрения) гипотезы, отражающие наиболее вероятную эволюцию физического вакуума. На основании данного постулата и гипотез получены все свойства пространства-времени.
Отмечу, что утверждение о фундаментальности (первичности по отношению к пространству-времени) СР^3-пространства уже выдвинуто в твисторной теории Пенроуза, однако в данной работе связь СР^3-пространства с пространством-временем имеет иной вид, чем в теории твисторов.
Математический аппарат, который используется в данной работе, включает в себя идеи и методы проективной геометрии. Значительную часть используемого аппарата можно найти в книге: Постников М.М. «Аналитическая геометрия» М. 1973 (далее обозначается [1]).
Основной постулат: исходное состояние физического вакуума обладает геометрией комплексного проективного пространства СР^3.
Определение: пространство-время представляет собой арифметическую модель геометрии физического вакуума.
Из основного постулата и определения следует, что исходное состояние пространства-времени – это арифметическая модель СР^3-пространства.
Арифметическая модель СР^3-пространства строится с помощью однородных проективных координат [1, стр.182]. Данные координаты представляют собой четверку комплексных чисел (x, y, z, t), которые определены с точностью до пропорциональности: четверки чисел, отличающиеся произвольным комплексным множителем, соответствуют одной и той же точке СР^3-пространства. Поскольку все однородные проективные координаты одинаковы, то в исходном состоянии пространства-времени временная координата ничем не отличается от пространственной координаты.
С другой стороны, однородные координаты 3-х мерного проективного пространства есть не что иное, как аффинные координаты 4-мерного пространства [1, стр.311]. Это означает, что пространство-время можно представить в виде арифметической модели 4-мерного аффинного комплексного пространства. Таким образом, из основного постулата и определения следует, что пространство-время обладает следующими свойствами, которые обычно принимаются априори:
1. размерность пространства-времени n = 4;
2. пространство-время является аффинным.
Гипотеза №1: в СР^3-пространстве выделилась плоскость, точки которой бесконечно удалены от остальных точек СР^3-пространства.
Выделение в проективном пространстве бесконечно удаленной плоскости (в качестве такой плоскости может быть выбрана произвольная плоскость) превращает данное пространство в аффинно-проективное (АР) пространство [1, стр.314].
Алгебраически, данное преобразование проявляется в сужении группы преобразований: вместо проективной группы Proj (3,C) действует аффинная группа Aff (3,C) [1, стр.306].
Арифметическая модель АР-пространства строится с помощью однородных аффинных координат [1, стр.183]. В этих координатах бесконечно удаленная плоскость описывается уравнением t = 0, а координаты собственных точек представляются тройками чисел x/t, y/t, z/t.
Физически, данная стадия означает «отделение» времени от пространства. Временная (t) и пространственные (x, y, z) координаты различным образом относятся к бесконечно удаленной плоскости и становятся различными. Пространство становится ориентированным, а время направленным (см. Приложение).
Гипотеза №2: в СР^3-пространстве выделилось действительное проективное пространство RР^3.
Выделение в проективном пространстве действительного подпространства превращает данное пространство в вещественно-комплексное (RC) пространство [1, стр.313].
Алгебраически, данное преобразование также проявляется в сужении группы преобразований: вместо группы Proj (3,C) действует группа Proj (3,R) [1, стр.313].
Арифметическая модель RC-пространства строится с помощью вещественных однородных аффинных координат, которые также можно рассматривать как аффинные координаты 4-мерного вещественно-комплексного пространства.
Физически, данная стадия означает рождение вещественной Вселенной. Согласно данной модели, рождение Вселенной произошло не в виде сингулярности, а в виде RР^3-пространства, которое можно представить в виде трехмерной сферы S^3 c отождествленными диаметральными точками.
Гипотеза №3: RC-пространство и АР-пространство пересеклись.
Данное пересечение привело к образованию вещественно-комплексного аффинно-проективного (RCАР) пространства, свойства которого включают в себя свойства обоих пространств.
Абсолютом RCАР-пространства является вещественная часть абсолюта СР^3-пространства, т.е. RР^1×RР^1. В 4-мерном аффинном вещественно-комплексном пространстве-времени данный абсолют представляет собой линейчатую вырожденную поверхность второго порядка, т.е. действительный конус. Наличие в аффинном пространстве инвариантного конуса сужает группу аффинных преобразований до группы О (3,1) и пространство становится псевдоевклидовым (для 2-мерного случая [1, стр.727]).
Физически, пересечение RC-пространства с АР-пространством соответствует их столкновению. Данное столкновение является причиной Большого взрыва и может рассматриваться как столкновение многомерных поверхностей в СР^3-пространстве. Результатом столкновения явилось образование частиц материи: каждая частица образовалась в результате соединения 2-х элементов физического вакуума: замкнутой неориентированной поверхности RC-пространства и пучка проективных прямых АР-пространства. Данная модель качественно объясняет спектр частиц материи (см. http://www.proectiv-cosmology.narod.ru Дополнение №17).
Существенно, что появление у пространства-времени новых свойств (аффинных, метрических) не исключает проективных свойств, которые имели место в исходном состоянии (сужение группы преобразований приводит к появлению дополнительных свойств при сохранении свойств, которыми обладало предшествующее пространство [1, стр.315]). Это означает, что пространственно-временные координаты сохраняют основное свойство однородных координат: при умножении на произвольное число координаты описывают одну и ту же точку проективного пространства. В свою очередь, пропорциональное изменение пространственно-временных координат есть не что иное, как прямолинейное и равномерное движение. Таким образом, находит объяснение природа закона инерции: прямолинейное и равномерное движение не изменяет положения частицы в физическом вакууме (частица продолжает находиться в той же самой точке RCАР-пространства).
РЕЗЮМЕ. Свойства пространства-времени возникают в результате эволюции физического вакуума, которая заключается в последовательном нарушении симметрии исходного состояния физического вакуума Proj (3,C): сначала до групп Aff (3,C) и Proj (3,R), а затем до группы О (3,1).
Приложение.
Рассмотрим причины ориентированности пространства и направленности времени.
Прежде всего, покажем, что ориентированным является 4-мерное пространство-время.
Аффинное пространство ориентировано, если в нем выбрана координатная система [1, стр.166]. Тот же самый результат достигается, если все координатные системы будут одноименными. В 4-мерном пространстве-времени все координатные системы можно сделать одноименными за счет выбора знака множителя в определении пространственно-временных координат, как 3-мерных однородных координат (как указано выше, произвольность абсолютной величины данного множителя обуславливает существование инерциального движения).
В 4-мерном аффинном пространстве-времени гиперплоскость t = 0, выделившаяся на первой стадии эволюции физического вакуума, разбивает пространство-время на 2 несвязанные части. Физический вакуум располагается в одной из этих частей (поскольку уравнение t = 0 представляет бесконечно удаленную плоскость RCАР-пространства). Это означает, что одна из сторон гиперплоскости t = 0 является выделенной. Имеется теорема: если в ориентированном 4-мерном пространстве задана гиперплоскость и выделена одна из ее сторон, то данная гиперплоскость является ориентированной (для 3-мерного случая [1, стр.80]). Следовательно, гиперплоскость t = 0 и, соответственно, 3-мерное физическое пространство, являются ориентированными.
Поскольку стороны гиперплоскости t = 0 различны, то пересекающие данную гиперплоскость прямые являются ориентированными. Каждая такая прямая обладает ненулевым значением временной координаты, т.е. является временной прямой. Для одномерного случая ориентированность и направленность являются тождественными. Следовательно, временные прямые являются ориентированными, а время направленным.
Добавление 1. (12 сентября)
Описываемые гипотезами №1 и №2 стадии эволюции физического вакуума реализовались в другой последовательности: сначала родилась действительная Вселенная (образовалось RР^3-пространство) а затем выделилась бесконечно удаленная плоскость t = 0. Другими словами, выделение плоскости t = 0 осуществилось в вещественно-комплексном (RC) проективном пространстве.
Необходимость указанной перестановки объясняется тем, что используемые теоремы, из которых следуют утверждения об ориентированности пространства и времени, справедливы только в вещественном пространстве.
Добавление 2. (17 сентября)
Цель данного Добавления – обосновать следующие 2 утверждения:
1. предлагаемая модель с единой точки зрения объясняет закон Хаббла и наличие у галактик ускоренного движения,
2. модель предсказывает, что величина ускорения должна иметь максимум при красном смещении, соответствующем половине возраста Вселенной.
Поскольку точки RCАР-пространства связаны с пространственными и временной координатой отношениями x/t, y/t, z/t, то RCАР-пространство имеет смысл расширенного пространства скоростей. Это означает, что родившиеся в RCАР-пространстве частицы материи обладали ненулевым значением относительной скорости.
С другой стороны, однородные координаты RCАР-пространства есть не что иное, как аффинные координаты 4-мерного пространства-времени. Вследствие этого, в любой фиксированный момент времени (t) относительная скорость частиц пропорциональна расстоянию между ними в 3-мерном пространстве, которое определяется координатами x, y, z. Данное свойство сохранилось и после того, как из частиц материи образовались галактики. Этот вывод и составляет содержание закона Хаббла.
Наличие у галактик ускорения обусловлено тем, что действительная часть RCАР-пространства (RР^3-пространство) имеет вид 3-мерной сферы S^3 c отождествленными диаметральными точками. Отличие данной сферы от плоского пространства проявляется следующим образом:
1. по мере увеличения расстояния между галактиками от нуля до величины, равной радиусу сферы, относительная скорость растет сильнее, чем по линейному закону: это проявляется в наличии ускорения, причем с увеличением расстояния ускорение также увеличивается,
2. при совпадении расстояния с радиусом сферы, что соответствует времени, равному половине возраста Вселенной, ускорение достигает максимальной величины,
3. когда расстояние начинает превышать радиус сферы, что соответствует более ранним эпохам, чем половина возраста Вселенной, ускорение начинает уменьшаться.
Указанная зависимость ускорения от красного смещения совпадает с соответствующей зависимостью в стандартной λCDM-модели только в третьем из указанных пунктов, который уже нашел экспериментальное подтверждение.
Однако первые 2 пункта существенно отличаются от стандартной модели. Согласно λCDM-модели, зависимость ускорения от красного смещения не имеет максимума: при уменьшении красного смещения ускорение монотонно возрастает (обусловленное темной энергией отталкивание все сильнее превышает всемирное тяготение), тогда как в предлагаемой модели после прохождения максимума, расположенного вблизи половины возраста Вселенной, ускорение должно уменьшаться (кривизна RCАР-пространства проявляется все в меньшей степени).
Указанные различия предоставляют возможность экспериментальной проверки предлагаемой модели. Наблюдения ближайших лет покажут, действительно ли максимальное значение ускорения имеют галактики, которые расположены на расстоянии, соответствующем половине возраста Вселенной (с учетом обусловленной всемерным тяготением поправки, которая сдвигает положение максимума в сторону меньших значений красного смещения). Кроме того, величина ускорения должна уменьшаться не только в сторону больших значений красного смещения (что уже подтверждено наблюдениями), но и в сторону меньших значений красного смещения.
Именно измерение ускорения галактик, красное смещение которых лежит в диапазоне (0,1 – 1), явится критическим тестом для проверки предлагаемой модели.
Отмечу, что предлагаемая и стандартная модели Вселенной могут быть согласованы, если темную энергию (точнее, ее геометрическую модель) отождествить с RCАР-пространством.