Космологическая модель с проективным мероопределением.

 

Вставка от 17 января 2008 года. Сайту исполнилось 2 года. За это время основная тематика сайта претерпела существенное изменение. Если сначала главным было применение проективной геометрии к космологии, то сейчас главное содержание сайта - это построение проективной теории материи. Следующим этапом станет объединение данных направлений. Основные результаты, полученные к настоящему времени, изложены в Дополнении № 10.

РЕЗЮМЕ. Предложена космологическая модель, в основу которой положено комплексное проективное пространство CР3. Показано, что данное пространство может являться также основой для создания теории элементарных частиц, в которой все известные виды взаимодействий описываются на единой геометрической основе. Сделан вывод, что программа «геометризации» физики и космологии может быть выполнена на основе геометрии CР3 пространства, имеющего физический смысл пространства скоростей, характеризующего движение первичной материи.

Постановка задачи.

Одной из главных нерешенных проблем космологии является объяснение происхождения метрики пространства-времени. Ровно 100 лет назад было установлено, что текущая стадия эволюции Вселенной характеризуется наличием у пространства-времени псевдоевклидовой метрики. Однако до настоящего времени остается открытым вопрос: «Почему пространство-время наделено метрикой и почему эта метрика является псевдоевклидовой»?

Цели работы.

Главная цель данной работы заключается в построении космологической модели, в которой псевдоевклидовая метрика пространства-времени,равно как и cуществование самого пространства-времеми, проистекают из более фундаментальных причин, действовавших на первых стадиях эволюции Вселенной.

В процессе работы выяснилось, что в рамках разрабатываемой космологической модели могут найти объяснение также законы симметрии элементарных частиц, хотя первоначально получение этих законов не являлось целью данного исследования. Основные положения теории элементарных частиц, вытекающей из проективной космологической модели, изложены в приложении № 1.

Вставка (31 января 2007 г.). За год, прошедший с момента создания сайта, автор уточнил и исправил многие утверждения, относящиеся к теории элементарных частиц. Все изменения приведены в Дополнениях №6 и №7, с которых целесообразно начать ознакомление с сайтом.

 Введение.

В основу предлагаемой космологической модели положен раздел математики, который носит название теории проективного мероопределения. Данный раздел разработан в третьей четверти ХIХ века в основном трудами 2-х математиков: А. Кэли и Ф. Клейна.

Согласно теории проективного мероопределения, метрические свойства пространства определяются его проективными свойствами, а также наличием в пространстве поверхностей, которые остаются неизменными при преобразованиях данного пространства. От того, какой вид имеют данные поверхности, и зависит конкретный вид метрики пространства.

Определяющие метрику пооверхности носят название «абсолютов». Таким образом, теория проективного мероопределения утверждает, что все классические метрические пространства (как евклидовое, так и неевклидовые) порождаются различными абсолютами проективного пространства.

Наличие указанной взаимосвязи между метрическими и проективными пространствами позволяет предположить, что метрические свойства пространства-времени смогут найти объяснение в космологической модели, в основу которой будет положена теория проективного мероопределения. Использование данной теории для описания начальных стадий эволюции Вселенной и составляет наиболее существенную черту предлагаемой космологической модели.

Вторым существенным моментом предлагаемой модели является то, что теория проективного мероопределения прилагается не к пространству-времени, а к пространству скоростей. Согласно предлагаемой модели,  пространство скоростей является более фундаментальной сущностью, чем пространство-время. Свойства пространства-времени, а также все без исключения свойства элементарных частиц, вытекают из самых общих предположений о пространстве скоростей, которое характеризовало движение первичной материи на ранних стадиях эволюции Вселенной.

Указанные особенности представляют две наиболее характерные черты, отличающие предлагаемую модель от других космологических моделей.

Содержание и суть работы.

Содержанием работы является приложение теории проективного мероопределения к описанию ранних стадий эволюции Вселенной и объяснению свойств элементарных частиц.

Суть предлагаемой космологической модели заключается в следующих утверждениях:

1. Вселенная развивается из состояния 3-х мерного комплексного (С) проективного (Р) пространства скоростей (СР³);

2. начальные стадии развития Вселенной представляют собой возникновение в СР³ вещественного подпространства и абсолюта пространства скоростей;

3. пересечение вещественного пространства и абсолюта пространства скоростей приводит к образованию пространства-времени, наделенного псевдоевклидовой метрикой, а также – к возникновению наблюдаемого спектра элементарных частиц и их взаимоодействий.

Исходные постулаты модели.

В основу предлагаемой космологической модели положены 3 постулата, которые будем именовать первым, вторым и третьим началами космологии:

I Начало: движение составляющих первичную материю элементарных частиц образует группу преобразований 3-х мерного проективного комплексного пространства;

II Начало: пространство скоростей элементарных частиц обладает невырожденным абсолютом;

III Начало: имеются элементарные частицы, образующие вещественное пространство скоростей.

Рассмотрим содержание каждого из 3-х начал более подробно.

Первое начало космологии.

Понятие «движение первичной материи» эквивалентно понятию «начальное состояние Вселенной» и далее не определяется. Отдельные элементы первичной материи представляют собой  элементарные частицы. Движение элементарных частиц будем представлять точками пространства, которое будем именовать пространством скоростей.

Таким образом, суть первого начала космологии заключается в том, что в начальном состоянии Вселенной все возможные движения элементарных частиц образуют пространство скоростей, в котором имеет место геометрия СР³. В этих терминах первое начало космологии можно сформулировать следующим образом: «Начальное состояние Вселенной представляет собой 3-х мерное комплексное проективное пространство скоростей».

Приведем аргументы в пользу того, что в начальном состоянии Вселенной пространство скоростей элементарных частиц должно быть проективным и комплексным.

Проективная геометрия является наиболее общей из всех классических геометрий (аффинная, евклидовая, неевклидовые геометрии): каждая из этих геометрий может быть получена в результате сужения группы преобразований проективной геометрии. Поэтому, если в основании геометрических свойств Вселенной лежит какая-то из классических геометрий, то этой геометрией, вероятнее всего, является проективная геометрия. Дополнительное обоснование того, что пространство скоростей должно обладать проективными свойствами, приведено в приложении №2. В этом приложении показано, что проективность пространства скоростей может являться следствием принципа относительности, сформулированного в предельно общей форме.

Комплексность пространства является необходимым условием для того, чтобы абсолют мог являться составной частью данного пространства. Абсолют представляет собой некоторую квадратичную форму, а любая квадратичная форма неизбежно содержит мнимые элементы. Кроме того, с математической точки зрения в комплексности пространства нет ничего таинственного: комплексное пространство всегда можно рассматривать как вещественное пространство удвоенной размерности.

Математическое выражение первого начала космологии заключается в том, что в начальном состоянии Вселенной движение элементарных частиц описывается группой преобразований 3-х мерного комплексного проективного пространства, которая имеет вид ([2] стр.636):

 

ρХ₁' = а₁₁ Х₁ + а₁₂ Х₂ + а₁₃ Х₃ + а₁₀ Х₀

                 ρХ₂' = а₂₁ Х₁ + а₂₂ Х₂ + а₂₃ Х₃ + а₂₀ Х₀                   (1)        

ρХ₃' = а₃₁ Х₁ + а₃₂ Х₂ + а₃₃ Х₃ + а₃₀ Х₀

ρХ₀' = а₀₁ Х₁ + а₀₂ Х₂ + а₀₃ Х₃ + а₀₀ Х₀

 

здесь  Х_i, Х_i' – совокупности не равных одновременно нулю 4-х комплексных чисел, представляющих собой значения координат скорости любого элемента первичной материи в двух произвольных проективных координатных системах;

а_ij – комплексные числа, составляющие матрицу преобразования, между указанными координатными системами;

ρ – произвольное комплексное число (ρ ≠ 0), которое учитывает то обстоятельство, что проективные координаты определены с точностью до произвольного множителя.

С физической точки зрения, первое начало космологии означает, что в начальной стадии эволюции Вселенной движение частиц первичной материи описывается четверками не равных одноовременно нулю комплексных чисел, определяемых с точностью до пропорциональности и связанных друг с другом уравнениями (1).

Благодаря выбору определенного значения ρ, определитель матрицы {а_ij} всегда может быть сделан равным 1. Это означает, что множество матриц {а_ij} представляет собой группу комплексных матриц четвертого ранга с определителем равным 1. Данная группа обозначается SL(4).

Таким образом, предположение о том, что исходным состоянием Вселенной является 3-х мерное комплексное проективное пространство СР³, эквивалентно тому, что это состояние описывается 4-х мерным комплексным векторным пространством, в котором имеется симметрия, порождаемая группой SL(4).

Изоморфизм группы преобразований 3-х мерного комплексного проективного пространства СР³ и группы SL(4) хорошо известен ([2] стр.318). С другой стороны, еще не так давно подгруппа группы SL(4), а именно группа SU(4) рассматривалась в качестве возможной группы симметрии элементарных частиц. Таким образом, уже на первом этапе построения проективной космологической модели выявляется ее связь с теорией элементарных частиц.

Наличие данной взаимосвязи говорит в пользу правильности выбранного пути построения космологической модели, поскольку истинная космологическая модель непременно должна включать в себя теорию элементарных частиц. В сущности, проблема объяснения происхождения Вселенной и состоит в объяснении происхождении полного набора элементарных частиц вместе со всеми «внутренними» и «внешними» (пространственно-временными) симметриями.

Второе начало космологии.

Абсолют представляет собой множество элементов проективного пространства, которое остается неизменным при любых преобразованиях, составляющих группу преобразований данного пространства. При проективных преобразованиях пространства составляющие абсолют элементы также претерпевают изменение, но все эти изменения происходят внутри абсолюта.

В принципе, абсолютные элементы могут занимать любую область проективного пространства, в частности, могли бы описываться уравнением третьего или более высокого порядка. Однако во всех этих случаях порождаемые такими абсолютами метрические пространства не будут обладать свойством однородности. Поскольку однородность пространства неразрывно связана с классическими законами сохранения, то все случаи, когда абсолютные элементы пространства скоростей образуют поверхность более чем второго порядка, можно исключить из рассмотрения.

В классической теории проективного мероопределения в качестве абсолютов рассматриваются исключительно поверхности второго порядка. В комплексном проективном пространстве имеет место всего лишь 4 различных типа таких поверхностей ([1] стр.557):

I    Х₁² = 0

II   Х₁² + Х₂² = 0

III  Х₁² + Х₂² + Х₃² = 0

IV  Х₁² + Х₂² + Х₃² + Х₀² = 0

Первые два возможных типов абсолюта в данной работе не рассматриваются, хотя не исключено, что они также могли реализоваться на самых ранних стадиях эволюции Вселенной.

Третий тип абсолюта естественным образом возникает в рамках предлагаемой модели как промежуточная стадия, когда действительное пространство скоростей преобразуется из эллиптического в гиперболическое пространство.

Четвертый тип представляет собой единственный невырожденный абсолют 3-х мерного комплексного проективного пространства. Таким образом, математическое выражение второго начала космологии заключается в том, что абсолют пространства скоростей имеет вид:

 

Х₁² + Х₂² + Х₃² + Х₀² = 0                  (2)

 

Данный абсолют обозначается Q(СР³) и представляет собой прямое произведение 2-х комплексных проективных прямых ([5] стр.294):

 

        Q(СР³) ~ СР¹ × СР¹                                (3)

 

Комплексная проективная прямая изоморфна двумерной ориентированной сфере S² ([1] стр.706), поэтому абсолют пространства скоростей можно представить в виде двух ориентированных сфер S² × S²,(рис. 1). Вещественная размерность абсолюта Q(СР³) равна 4.

В известной автору математической литературе не указано, совпадают ли ориентации этих сфер или противоположны. Вероятно, реализуется второй случай: в этом случае абсолют в целом не будет обладать ориентацией, т.е. будет более симметричным.

Тот факт, что уравнение абсолюта в пространстве скоростей имеет вид (2), означает, что в 4-х мерном векторном комплексном пространстве Х₁, Х₂, Х₃, Х₀ имеет место эрмитовая метрика. В свою очередь, наличие такой метрики означает, что группа преобразований SL(4) сужается до группы SU(4), т.е. группы унитарных преобразований 4-х мерного комплексного пространства.

Таким образом, из второго начала космологии следует унитарность 4-х мерного пространства Х₁, Х₂, Х₃, Х₀. Это еще в большей степени сближает разрабатываемую космологическую модель с теорией элементарных частиц, поскольку в этой теории рассматриваются практически только унитарные симметрии.

Возникновение абсолюта комплексного проективного пространства скоростей можно рассматривать как вторую стадию эволюции Вселенной (первая стадия - это возникновение самого пространства скоростей). С физической точки зрения, вторая стадия характеризуется тем, что множество элементарных частиц разбивается на 2 класса: один из этих классов включает частицы, составляющие абсолют пространства скоростей, а во второй класс входят частицы, остающиеся в основной части пространства скоростей. В приложении №1 показано, что частицы первого класса могут быть отождествлены с «прародителями» лептонов, а частицы второго класса – с «прародителями» адронов.

Третье начало космологии.

С алгебраической точки зрения, третье начало космологии означает, что группа преобразований комплексного проективного пространства скоростей претерпевает дополнительное сужение: вид группы преобразований остается тем же самым, т.е. группа по-прежнему представлена системой уравнений (1), но теперь уже коэффициенты а_ij могут принимать только вещественные значения ([1] стр.221).

Геометрически, такое сужение группы преобразований проявляется как образование внутри СР³, еще одного компактного множества: вещественного проективного пространства RP³. Выделение вещественных элементов комплексного пространства означает, что это пространство становится вещественно-комплексным пространством.

Вещественное подпространство может располагаться в вещественно-комплексном пространстве произвольным образом, однако по отношению к абсолюту может реализоваться два случая: пространство RP³ обладает общей областью пересечения с абсолютом, или располагается полностью вне абсолюта. Будем исходить из того, что реализуется вторая из указанных возможностей. Это не является ограничением, поскольку далее будет показано, что пересечение вещественного проективного пространства скоростей с абсолютом все равно неизбежно.

С физической точки зрения, третье начало космологии означает дальнейшее разделение составляющих пространство скоростей элементарных частиц, а именно, частицы, оставшиеся в пространстве СР³ после выделения абсолюта, делятся еще на 2 класса. В первый класс входят частицы, образующие вещественное проективное пространство RP³, а во второй класс входят все остальные частицы, которые, по-прежнему, могут иметь комплексные значения скорости. Данное разделение составляет содержание третьей стадии эволюции Вселенной.

Основные структуры Вселенной на третьей стадии ее эволюции изображены на рисунке 1.

 

рис. 1.

Содержание модели.

Введенные 3 начала космологии практически полностью определяют дальнейшую эволюцию Вселенной. Осталось лишь показать, что множества RР³ и Q(CР³) неизбежно пересекутся, и результатом такого пересечения является 4-х мерное пространство-время, наделенное псевдоевклидовой метрикой. Процесс пересечение данных поодпространств и составляет содержание текущей, четвертой стадии эволюции Вселенной.

Как уже было указано выше, расположение пространства RР³ внутри СР³ может быть произвольным. С физической точки зрения, это означает, что пространство RР³ обладает внутри СР³ свободной подвижностью (если не существует особого закона, запрещающего такую подвижность). По-видимому, можно строго математически доказать, что при свободном перемещении внутри СР³, вещественное подпространство RР³ не сможет избежать «столкновения» с абсолютом Q(CР³).

Еще одной возможной причиной «столкновения» указанных пространств является расширение пространства RР³. Дело в том, что при наличии мнимого абсолюта, описываемого уравнением (2), пространство RР³ является эллиптическим, которое можно рассматривать как сферу в 4-х мерном пространстве с отождествленными диаметрально противоположными точками. Даже если при возникновении данной сферы, ее радиус был предельно малым, то с физической точки зрения такое состояние с предельно большой кривизной действительного пространства скоростей является нестабильным и должно иметь место расширение данного пространства (в стандартной космологической модели этому соответствует стадия «раздувания» Вселенной). При достаточной величине радиуса, пространство RР³ - в какой бы области пространства СР³ оно ни образовалось -  неизбежно пересечет абсолют Q(CР³).

Физической причиной «раздувания» пространства RР³ может явиться дополнительное 5-ое взаимодействие, возможная природа которого указана в приложении №3. Это же взаимодействие может являться непосредственной причиной того, что пространство RР³ отталкивается от одной из сфер абсолюта и притягивается к другой сфере. В свою очередь, результатом такого дифференцированного взаимодействия со сферами абсолюта явится то, что пространство RР³ пересечется только с одной из сфер абсолюта.

Последнее обстоятельство позволяет устранить последнюю неопределенность предлагаемой космологической модели. Дело в том, что пространство RР³ способно пересекать абсолют Q(CР³) только двумя принципиально различными способами. Первый способ соответствует тому, что уравнение абсолюта примет вид

 

                   Х₁² + Х₂² + Х₃² - Х₀² = 0                          (4)

 

а второй способ соответствует уравнению абсолюта

 

                    Х₁² + Х₂² - Х₃² - Х₀² = 0                          (5)

 

Первое из этих уравнений соответствует случаю пересечения пространством RР³ только одной из сфер S² абсолюта, а второе уравнение  соответствует случаю пересечения обеих сфер. Как было указано выше, именно первый случай является наиболее вероятным и реализуется на текущей стадии эволюции Вселенной. Второй случай, по-видимому, соответствует следующей стадии эволюции Вселенной.

Осталось рассмотреть процесс пересечения пространства RР³ с абсолютом Q(CР³). Прежде всего, происходит касание этих пространств, которое осуществляется по бесконечно удаленной плоскости пространства RР³. Данная плоскость имеет уравнение Х₀ = 0. Поскольку абсолют не может изменить своего положения, то после касания, положение плоскости Х₀ = 0 также становится фиксированным. В свою очередь, это означает, что проективное пространство становится аффинно-проективным пространством ([1] стр.306, 314, 338), и его группа преобразований приобретет вид:

 

ρХ₁' = а₁₁ Х₁ + а₁₂ Х₂ + а₁₃ Х₃ + а₁₀ Х₀

                 ρХ₂' = а₂₁ Х₁ + а₂₂ Х₂ + а₂₃ Х₃ + а₂₀ Х₀                   (6)        

ρХ₃' = а₃₁ Х₁ + а₃₂ Х₂ + а₃₃ Х₃ + а₃₀ Х₀

                                          ρХ₀' = Х₀

 

Поскольку в бесконечно удаленной плоскости Х₀ = 0 имеется абсолют Х₁² + Х₂² + Х₃² = 0, то получающееся пространство является евклидово-проективным. Данное пространство сохраняет главную особенность проективного пространства, а именно – наличие бесконечно удаленных элементов. Однако евклидово-проективное пространство характеризуется наличием качественного различия бесконечно удаленных элементов от конечных элементов, составляющих евклидовую часть этого пространства. Данная часть исходного проективного пространства становится обычным евклидовым пространством, а бесконечно удаленные элементы остаются проективной плоскостью ([1] стр.341).

Таким образом, согласно предлагаемой космологической модели 3-х мерное физическое пространство представляет собой конечную часть евклидово-проективного пространства скоростей. Подчеркну, что в соответствие с данным выводом физическое пространство возникает как результат эволюции пространства скоростей, а сам вывод представляет собой непосредственное следствие уравнений (6).

Еще одним следствием выделения гиперплоскости Х₀ = 0 является ориентированность координатной оси Х₀. Движения составляющих действительное пространство скоростей элементарных частиц уже не могут пересекать этой гиперплоскости, и могут совершаться только в двух разделенных друг от друга полупространствах: Х₀ > 0 (действительные частицы) и Х₀ < 0 (античастицы).

После пересечения абсолюта Q(CР³), для той части пространства RР³, которая окажется внутри абсолюта, имеет место гиперболическая геометрия ([2] стр.221). Подчеркну, что этот вывод однозначно следует из теории проективного мероопределения. Таким образом, текущая стадия эволюции Вселенной характеризуется тем, что в пространстве скоростей справедлива гиперболическая геометрия (геометрия Лобачевского).

Данный вывод равносилен тому, что в пространстве-времени справедлива псевдоевклидовая геометрия (геометрия Минковского). Этот вывод может быть получен и непосредственно из вида уравнения (4), представляющего собой уравнение псевдоевклидовой метрики данного пространства.

В заключение отмечу, что процесс «столкновения» RР³ и Q(CР³) соответствует «Большому Взрыву» стандартной космологической модели. В рамках данной модели этот процесс означает преобразование действительного пространства скоростей из эллиптического в гиперболическое пространство. Детали данного процесса, приводящие к наблюдаемым следствиям (разбегание галактик, изотропное микроволновое излучение, природа мощных источников излучения), будут рассмотрены позднее. Более четко суть предлагаемой космологической модели изложена в Дополнении №4.

Литература.

Наибольшую пользу при написании данной работы оказала книга [1], хотя в ней отсутствует теория проективного мероопределения. Эту теорию лучше всего изучать по фундаментальным книгам одного из создателей теории Ф. Клейна, однако в качестве первого знакомства можно использовать книгу [2]. На заключительной стадии работы большую помощь оказали книги [3] и [4].

1. Постников М.М. Аналитическая геометрия. М. 1972.

2. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М. 1976.

3. Дубровин Б.А. и др. Современная геометрия. М. 1986.

4. Берже М. Геометрия. 2 тома. М. 1984.

5. Клеменс Х. и др. Многомерная комплексная геометрия. М. 1993.

приложение  1               приложение 2              приложение 3   

 

главная  страница